等差数列とその和

等差数列とは「一定の数ずつ増えていく数列」でした。初項を $a$、公差を $d$ とすると、一般項は次の式で表されます。

$$a_n = a + (n-1)d$$
例えば初項 $-3$、公差 $6$ なら、$a_1=-3,\ a_2=3,\ a_3=9,\ a_4=15,\dots$ と並び、一般項は $a_n = -3+6(n-1) = 6n-9$ という1次関数のような式で表されます。

初項 $a$、公差 $d$ の等差数列は $a, a+d, a+2d, \dots$ と並ぶので、第 $n+1$ 項と第 $n$ 項の差は常に公差 $d$ で一定になります。

$$a_{n+1} - a_n = d \quad (\text{一定})$$
具体例：初項 $3$、公差 $2$ の数列 $3, 5, 7, 9, 11, 13, \dots$ では、
$$a_4 - a_3 = 9 - 7 = 2, \qquad a_6 - a_5 = 13 - 11 = 2$$
のように、どこで差を取っても公差 $2$ になります。

これを一般化すると、

$$a_{n+1} - a_n = 2$$
すなわち、隣り合う項の差は常に $2$ である、ということです。

この逆も成り立ちます（必要十分条件）：「$a_{n+1}-a_n$ が常に一定の値」であれば、数列 $\{a_n\}$ は等差数列であると言えます。この性質を使って証明を行います。

数列の単元では「置き換え」の考え方をよく使います。式 $a_n = pn + q$（$p,q$ は定数）の $n$ を $n+1$ に置き換えると、右辺の $n$ もすべて $n+1$ になります。

$$a_{n+1} = p(n+1) + q$$
この2式の差を計算します。

$$a_{n+1} - a_n = \{p(n+1)+q\} - (pn+q) = p$$
$p$ は定数なので差は常に一定値 $p$。よって数列 $\{a_n\}$ は等差数列です。
初項は $n=1$ を代入して $p+q$、公差は $p$ と求まります。

$a, b, c$ がこの順で等差数列ならば、隣り合う項の差が等しいので、

$$b - a = c - b$$
これを整理すると、

$$2b = a + c$$
「真ん中を2倍したものが、両端の和に等しい」という関係です。

カレンダーの例：今日が12日なら、1週間前は5日、1週間後は19日（公差7の等差数列）。両端の和 $5+19=24$ は、中央 $12$ の2倍 $12 \times 2 = 24$ と一致します。

$1$ から $10$ までの和 $S_{10}$ を工夫して求めます。端から足す方法（$1+10=2+9=\dots=11$）でも計算できますが、項数が奇数だと中央の数が余るため一般化には向きません。

そこで「同じ和を逆順にして2回足す」方法を使います。

$$S_{10} = 1+2+3+\cdots+10$$
$$S_{10} = 10+9+8+\cdots+1$$
縦に足すと、どの列も (初項＋末項) の $11$ になり、それが項数分（10個）あります。

$$2S_{10} = 11 \times 10 \quad \Rightarrow \quad S_{10} = \frac{1}{2}\times 10 \times (1+10) = 55$$

これを文字式で一般化すると、初項 $a$・末項 $l$・項数 $n$ の等差数列の和は、

$$S_n = \frac{1}{2}n(a+l)$$
末項 $l = a+(n-1)d$ を代入すると、公差 $d$ を使った形も得られます。

$$S_n = \frac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\}$$
公式の「$2a$」に戸惑う場合は、先に末項 $l$ を計算して $\frac{1}{2}n(a+l)$ に代入する方が構造が分かりやすくミスも減ります。