グラフと2次不等式
1次不等式をグラフで解く考え方¶
この不等式の解は、$y=2x-6$ のグラフについて $y>0$ となる $x$ の範囲に一致する。グラフより $x=3$ を境に右側で $y>0$ になるので、解は $x>3$（境界の $x=3$ は含まない）。
この「式をグラフに見立てて $y$座標の符号で解の範囲を読み取る」という考え方を、この後の2次不等式でも使う。
1次不等式とグラフの関係¶
(1) $4x - 4 > 0$
(3) $3x + 2 \ge 0$
(1) $y=4x-4$ について、$y$切片は $-4$、$x$切片は $y=0$ とおいて $x=1$。
(1) $4x-4>0$ の解は $y>0$ となる部分。グラフより $x>1$（$1<x$ でも同じ）。
(3) $y=3x+2$ について、$y$切片は $2$、$x$切片は $3x+2=0$ より $x=-\dfrac{2}{3}$。
(3) $3x+2 \ge 0$ の解は $y \ge 0$ となる部分。グラフより $x \ge -\dfrac{2}{3}$。境界を含む。
2次不等式をグラフで解く考え方¶
2次関数のグラフというと頂点を出すための平方完成を思い浮かべるが、2次不等式を解くだけなら頂点の座標は不要なので平方完成はしない。必要なのは $x$軸との交点だけである。
$x^2-2x-3$ を因数分解すると $y=(x+1)(x-3)$。$y=0$ となるのは $x=-1, 3$ のときなので、このグラフは点 $(-1,0)$、$(3,0)$ を通る。$x^2$ の係数が正なので下に凸の放物線になる。
$x^2-2x-3>0$ の解は、このグラフの $y$座標が0より大きい部分＝両端（外側）。よって $x<-1$ または $3<x$。もし不等号が逆（$x^2-2x-3<0$）なら、$-1$ と $3$ の間（内側）が解になる。
交点が2つある2次不等式の解は「外側」か「内側」の2パターンしかない。不等号が $>$ なら外側、$<$ なら内側と機械的に覚えるのではなく、グラフの $y$座標がどちらの範囲で正・負になるかをそのつど確認する。
2次不等式とグラフの関係（因数分解パターン）¶
(1) $(x-1)(x-4) < 0$
(2) $(x+1)(x-2) \ge 0$
(1) $y=(x-1)(x-4)$ は下に凸で、$x=1, 4$ で $x$軸と交わる放物線。
(1) $y<0$ となるのは $1$ と $4$ の間（内側）。よって $1<x<4$。
(2) $y=(x+1)(x-2)$ は下に凸で、$x=-1, 2$ で $x$軸と交わる放物線。
(2) $y \ge 0$ となるのは $-1$ より小さいか $2$ より大きい部分（外側）。等号を含むので境界も解に含む。よって $x \le -1$、$2 \le x$。
因数分解して解く2次不等式¶
(1) $(x-3)(x-5) > 0$
(2) $(x+3)(x-2) \le 0$
(3) $x^2-7x+12<0$
(4) $x^2+3x-4 \ge 0$
(5) $x^2+5x+6 \le 0$
(6) $x^2-4 \ge 0$
(1) $y=(x-3)(x-5)$ は $x=3,5$ で $x$軸と交わり、下に凸の放物線。
(1) $y>0$ となるのは $3$ と $5$ の外側。よって $x<3$、$5<x$。
(2) $(x+3)(x-2) \le 0$ はすでに因数分解済み。交点は $x=-3, 2$。
(3) $x^2-7x+12<0$ を因数分解すると $(x-3)(x-4)<0$。交点は $x=3,4$。
(4) $x^2+3x-4 \ge 0$ を因数分解すると $(x-1)(x+4) \ge 0$。交点は $x=-4,1$。
(5) $x^2+5x+6 \le 0$ を因数分解すると $(x+3)(x+2) \le 0$。交点は $x=-3,-2$。
(6) $x^2-4 \ge 0$ を因数分解すると $(x+2)(x-2) \ge 0$。交点は $x=-2,2$。